Meßgrößen

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Strömungsmessgrößen
Zusammenstellung von Prof. Dr.-Ing. Dr. h.c. Bodo Ruck / Universität Karlsruhe                      
Definitionen und Konventionen
wpe1.jpg (892 Byte) Raumrichtungen, Koordinatenrichtungen
wpe2.jpg (912 Byte) Augenblickliche Strömungsgeschwindigkeiten in den Raumrichtungen
wpe4.jpg (969 Byte) Mittlere Strömungsgeschwindigkeiten in den Raumrichtungen x, y, z
wpe3.jpg (973 Byte) Augenblickliche Schwankungsgeschwindigkeiten in den Raumrichtungen
wpe5.jpg (1051 Byte) Mittlere Schwankungsgeschwindigkeiten in den Raumrichtungen
wpe6.jpg (1828 Byte) Reynoldsscher Ansatz
wpe7.jpg (1099 Byte) Dreidimensionaler Geschwindigkeitsvektor mit den Komponenten u, v, w
Im folgenden werden ausgewählte Größen dargestellt, die direkt aus Messungen oder aus der statistischen Auswertung solcher Messungen hervorgehen. Statistische Aussagen erhält man anhand von n Messungen im Strömungsfeld ("Stichproben"), die in einem Mittelungsintervall anfallen. So können etwa die unterschiedlichen Geschwindigkeitsmeßwerte ui in Form einer Wahrscheinlichkeitsverteilung aufgetragen werden. Der häufigste Wert dieser Verteilung entspricht dann der lokalen mittleren Strömungsgeschwindigkeit. Die Meßtechnik kann somit statistisch-gemittelte Größen liefern, die z.B. exakt den Größen entsprechen, die bei der Herleitung von Gleichungssystemen auftreten, wenn diese statistisch-gemittelt werden (RANS-Gleichungen).
Allgemeine Größen zur Charakterisierung eines Strömungsfeldes
Größe/Formel Bemerkung
Mittlere Strömungsgeschwindigkeit (Moment 1. Ordnung) Die mittlere Strömungsgeschwindigkeit stellt das arithmetische Mittel von n Meßwerten der Geschwindigkeiten ui dar. Mittlere Geschwindigkeiten können üblicherwiese in allen 3 Raumrichtungen bestimmt werden. Zu berücksichtigen gilt, daß einige Meßverfahren den Ensemble-Mittelwert anstelle des Zeitmittelwertes bestimmen.
Wahrscheinlichkeitsdichte der gemessenen
Strömungsgeschwindigkeitsschwankungen (stetig) 		Es wird zumeist gemessen oder angenommen, daß die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Strömungsgeschwindigkeitsschwankungen der Gaußschen Wahrscheinlichkeitsdichte folgt. Der Verlauf der Wahrscheinlichkeitsdichte kann ,wie nebenstehend, stetig, d.h. als Einhüllende der realen, gemessenen, diskreten PDF der Schwankungen aufgefaßt werden.
Varianz oder Streuung aus diskreten Meßwerten(zentrale Momente 2. Ordnung) Die Varianz oder Streuung der Geschwindigkeitsmeßwerte stellt ein Maß für die Breite der gemessenen Geschwindigkeitsverteilung und damit für die Turbulenz der Strömung dar. Sie kann für jede Raumrichtung aus Meßwerten erhalten werden.
Standardabweichung (rms-Geschwindigkeit) Die Standardabweichung ergibt sich aus der Wurzel der Varianz und stellt ein Maß für die mittlere Schwankungsgeschwindigkeit in der Strömung dar. Sie wird auch als rms-Geschwindigkeit bezeichnet und kann für jede Raumrichtung berechnet werden.
Turbulenzgrad
Der Turbulenzgrad bezieht die Schwankungsgeschwindigkeit der Strömung (1-,2-,3-D Betrachtung möglich) auf die mittlere Geschwindigkeit in betrachteter Strömungsrichtung. Bei nur 1-D-Betrachtung, d.h. beim Quotient aus rms-Geschwindigkeit zu mittlerer Geschwindigkeit spricht man von Turbulenzintensität in der entsprechenden Strömungsrichtung.
Mittlere kinetische Energie der Strömung
(bezogen auf die Masseneinheit)

 Die mittlere kinetische Energie der Strömung berechnet sich aus den zeitgemittelten Geschwindigkeiten in den entsprechenden Raumrichtungen. Mittlere Strömungsgeschwindigkeiten können im Gegensatz zu Geschwindigkeitsschwankungen, die immer 3-dimensional sind, auch nur in einer oder zwei Richtungen vorliegen.
Turbulente kinetische Energie der Strömung
(bezogen auf die Masseneinheit)		 Die turbulente kinetische Energie einer Strömung setzt sich aus den kinetischen Schwankungsenergien in allen 3 Raumrichtungen zusammen (Schwankungen sind immer 3-dimensional). Beschreibt man sie mit nur einem 2-D-Meßverfahren, so wird - bei Annahme isotroper Turbulenz im Strömungsfeld - der Anteil der dritten Komponente durch je ½ Anteile der beiden anderen Komponenten angesetzt (die ja alle annähernd von der gleichen Größe sind -> isotrope Turbulenz). Auf diese Weise entsteht der Vorfaktor 0.75 bzw. 3/4 und die angegebene Größe gibt meist recht gut die 3-D-turbulente kinetische Energie wieder. Häufig wird anstelle von ekin,t auch q2/2 geschrieben.
Korrelationen der Geschwindigkeitsschwankungen Die Messung der Korrelation der Geschwindigkeitsschwankungen in unterschiedlichen Raumrichtungen ermöglicht die Angabe der turbulenten Schubspannung oder der Austauschkoeffizienten. Es handelt sich hierbei um die Korrelation der Schwankungsglieder am gleichen Ort und zur gleichen Zeit (=0)
Turbulente Schubspannung

Die turbulente Schubspannung kann über eine Schwankungsbetrachtung an zwei benachbarten Strömungsschichten einer Grenzschichtströmung hergeleitet werden. Eine andere Herleitung gelingt formal über die RANS-Gleichungen (Reynolds-Averaged Navier-Stokes), wo diese Größe als Schubspannung im Spannungstensor erscheint.
Produktion von turbulenter kinetischer Energie Anhand der Erhaltungsgleichung für die turbulente kinetische Energie wird deutlich, daß bestimmte Terme ihre Produktion (und andere z.B. deren Dissipation) beschreiben.
Tripelprodukte der Schwankungen Tripelprodukte der Geschwindigkeitsschwankungen sind Berechnungsgrößen, die für die Einschätzung des Verlaufs z.B. der turbulenten kinetischen Energie oder der Schubspannung in Richtung einer Raumkoordinate benötigt werden.
Verlauf der turbulenten kinetischen Energie
Der Verlauf der turbulenten kinetischen Energie im Stromfeld kann mit nebenstehendem Term beurteilt werden:
> 0 Verlust an turbulenter kinetischer Energie
< 0 Zunahme an turbulenter kinetischer Energie
Verlauf der turbulenten Schubspannung
Auch für die Beurteilung des Verlaufs der turbulenten Schubspannung entlang einer Raumrichtung wird ein Tripelprodukt der Schwankungsglieder benötigt:
< 0 Verlust , > 0 Zunahme an turbulenter Schubspannung
Prandtlscher Mischungsweg
Von Prandtl eingeführter Zusammenhang zwischen Wirbelviskosität und gemitteltem Wirbelfeld. Beschreibt den Weg, den einheitlich bewegte "Strömungsballen" senkrecht zur Wand im Mittel zurücklegen, bevor sie sich vermischen und ihre Individualität verlieren.
'Vorticity'
Beschreibt die lokale Wirbelhaftigkeit eines Strömungsfeldes. Mit Hilfe der 'vorticity' kann eine Aussage über die Drehungsfreiheit oder den Grad der lokalen Drehung der Strömung gewonnen werden.
Zeitliche Kreuzkorrelationsfunktion zweier Zeitreihen allg.:

bedeutet:

 Die turbulenten Schwankungen in einer Strömung sind nicht unabhängig voneinander. Über eine gewisse Zeit besteht zwischen zwei Meßwert-verläufen u1(t) und u2(t) an verschiedenen Punkten P1 und P2 im Stromfeld ein Zusammenhang. Eine Korrelation durchzuführen bedeutet, sämtliche Meßwerte einer Zeitreihe 1 von Punkt P1 mit sämtlichen Meßwerten einer Zeitreihe 2 von Punkt P2 zum Zeitversatz miteinander zu multiplizieren und die Produkte aufzusummieren. Führt man dies für verschiedene durch, so ergibt sich eine Korrelationsfunktion in Abhängigkeit von .
Autokorrelation Anstelle an zwei unterschiedlichen Punkten kann die zeitliche Korrelation eines Meßwertverlaufs (Zeitreihe) auch an nur einem Punkte geschehen. Da es sich in diesem Fall um die Summation der Produkte der Meßwerte der identischen Zeitreihe zu unterschiedlichen Zeitversätzen handelt, wird von Autokorrelation gesprochen.
normierte Kreuzkorrelationsfunktion Die Korrelationsfunktion wird häufig in ihrer normierten Form verwendet. Man bezeichnet sie auch als Korrelationskoeffizient.
normierte Autokorrelationsfunktion Entsprechend kann auch die Autokorrelationsfunktion in normierter Schreibweise angegeben werden.
räumlich-zeitliche Korrelationsfunktion Wird nicht der Zeitversatz bei der Korrelation variiert, sondern die Meßwertverläufe zur gleichen Zeit (=0) aber bei variablem Meßpunktabstand a korreliert, so ergibt sich eine räumlich-zeitliche Korrelationsfunktion.
normierte räumlich-zeitliche Korrelationsfunktion Die (normierte) räumlich-zeitliche Korrelationsfunktion läßt somit Aussagen zu, um wie genau noch die Zeitreihen (Meßwerte) miteinander übereinstimmen, wenn man, beginnend vom selben Punkt aus mit zwei unabhängigen Meßsystemen die Werte registriert und dabei einen zunehmenden Abstand der Meßpunkte zuläßt. Am Anfang muß (bei der normierten Form) der Funktionswert den Wert 1 ergeben, er fällt dann ab.
Integrallängenmaß der Turbulenz Integriert man die normierte räumlich-zeitliche Korrelationsfunktion der Schwankungen über den Abstand a, so erhält man das Integralmaß L der Turbulenz, das Aussagen über die einheitlich bewegte Masse (Turbulenzballengröße) zuläßt. Entspricht der Fläche unter der normierten räumlich-zeitlichen Korrelationsfunktion, wenn sie zu einem Rechteck zusammengeschoben wird mit den Kantenlängen 1 und L